正多边形的不寻常作图法（21~40边形，能尺规作图及23、29、31除外）-世界报道

正多边形的不寻常作图法（中-2）

注：作图方法同前两期，j，w1，w2的值在前两期已约定。

(资料图片)

一．21边形、22边形、25边形（23边形暂缺，因为按照现有工具是不能严格11等分角的）

21边形作法

1.如图，作圆O半径为OA0，直径A0B，半径OA垂直于A0B。

2.作OB中垂线交圆O于A7、A14。作半径AB的圆B。

3.直尺绕着O点转动，交直线A7A14于D，OD线段交圆B于F、交圆O于A6，直到OB=DF。此时A6A7就是圆O内接正21边形的边长。

原理：3*pi/7-pi/3=2*pi/21。

22边形作法

可参考正11边形的第二种做法。前7步不变，接下来直接以E1为圆心，E1O为半径作圆E1，角OE1M为圆心角，是3/22个圆周。图略。

原理：arctan(sqrt(11)-4*sin(2*pi/11))=3*pi/11。

25边形作法

1.如下图，OA24为圆O半径，半径OA垂直于OA24，OA中点B，圆B以BA24为半径，同直径AA’交于C。

2.以A24C为半径作圆A24交圆O于A4、A19。

3.双段折叠直尺的一段贴紧A4点，两段间的支点是D，贴在圆O上。另一段DE与A4D共线，且E是同直线OA24的交点。将DE旋转到DF，F也在直线OA24上。不断调节双段尺，直到DE=OF，则将DO延长，交圆O于A23。那么角A24OA23是A24OA24的1/5倍，而后者是72度。A23A24是圆O内接正25边形边长。

原理：通过正11边形5等分角的方法可以5等分任意角，包括2*pi/5。

二．26边形、27边形、28边形（29形需要7等分特定角，现有条件不能作）

26边形的作法

1.如图以点A为圆心，BC=24为直径作圆。作AC中垂线，交AC于D，并从该直线截取DF=sqrt(39)-sqrt(3)。

2.从AB截取AE=1+sqrt(13)。以EF=2*sqrt(26+2*sqrt(13))为半径作圆E，并用绕F点转动的刻度尺作1/3倍角FED=角HEB。

3.作圆心角HEJ=60度，注意要跨过线段BE。从J引出AB垂线交圆O于K，则BK是圆A内接正26边形的边长。

原理：12*cos(pi/13)=1+sqrt(13)+2*sqrt(26+2*sqrt(13))*cos(X/3-pi/3)，其中X=arctan(sqrt(3)*B/A)，B=sqrt(13)-1，A=sqrt(13)+1。

27边形的作法

1.如图作圆A，直径BC。AC中垂线，交圆O于D。

2.三等分角DAC得到圆心角BAE，再三等分后者得到圆心角CAG。加倍之，得到圆心角GAH。GH是圆A内接正27边形边长。

原理：2*((pi/3)/3)/3=2*pi/27。

28边形的作法

1.如下图。作圆O，直径A14A0。并作垂直于OA0的半径OA7，以及OA0的垂直平分线l。

2.以A0A7为半径作圆A0，直尺绕O点转，交l于K，交圆A0于L，直到KL=OA0。此时OK交圆O于A6。A6A7是圆O内接正28边形的边长。

原理：pi/2-3*pi/7=2*pi/28。

三．33边形、35边形、36边形（31边形暂缓推出，涉及的计算非常复杂）

33边形的作法

1.如图作圆O，直径NA0=20。从ON截取OA=1，作半径为2*sqrt(11)的圆A。

2.B在OA0线段上且AB=25*sqrt(5)/22。作半径为89/22的圆B交OA0于C、交ON于D。从C、D引直径NA0垂线，分别交圆A于E、F。

3.五等分角CAF并加上36度，得到角CAI，I在圆A上。五等分角EAD并加上36度，得到角DAJ，J也在圆A上。

4.I、J在NA0上的投影为L、K。延长线段AL到M使得LM=AK。

5.从M引垂线交圆上半圆O于A3，并作ON中垂线交上半圆O于A11。那么，圆心角A3OA11=8*(360/33)°。

原理：

cos(2*pi/11)=-0.1+sqrt(11)*(cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)+cos(0.2*arccos((89+25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5))/5，cos(2*pi/3)=-1/2，2*pi/3-2*pi/11=8*(2*pi/33)。

35边形的作法

1.如图作圆O，参照正7、14、21、28边形的画法构造圆心角A0OG=3*pi/7。

2.在第1步中已经构造了垂直于半径OA0的半径OC，作其中点D，射线DO上截取点E使得DE=DA0。

3.过点E作圆A0交圆O于A7。角A7OG翻倍后得到圆心角A7OA8=2*pi/35，A7A8是圆内接正35边形的边长。

原理：

pi/35=3*pi/7-2*pi/5，(4*sin(pi/5))^2=4+(sqrt(5)-1)^2=10-2*sqrt(5)。

36边形的作法

1.如图，作圆O，直径A0A18，60度圆心角A0OA6。参照正9边形的绘图法作出20度圆心角A16OA18。

2.作垂直于OA16的半径OA7（A7在弧A6A16上）。此时，A6A7是圆O内接正36边形的边长。

原理：2*pi/36=8*pi/9-pi/3-pi/2。

四．37边形、38边形、39边形

37边形的作法（比19边形复杂，全章最高能部分）

1.如图（1），作半径OA0为18的圆O，从OA0截出OA=(-1+sqrt(37))/2，AB=3*sqrt(3)，线段BC=11+2*sqrt(37)垂直于AB。

2.作圆A其半径为sqrt(74-10*sqrt(37))，3等分角BAC得角BAE，E在圆A上。

3.圆心角EAF=60度，E、F同在OA0一侧。F投影到OA0上为G点。

图（1）

4.如图（2），作线段HI=6并延长到IJ=37-3*sqrt(37)。再延长到K、L使得JK=4*sqrt(37-3*sqrt(37))、JL=10.55（准确值），JL垂线段LM=27.6*sqrt(3)-2.25*sqrt(111)。

5.作圆心角KJN=1/3*角KJM，N投影到是P点。

6.作直径为PH的半圆，从I点引垂线交其于Q。

图（2）

7.如图（3），作线段RS=74-8*sqrt(37)并延长到V使得SV=sqrt(21386-3050*sqrt(37))，及T使得ST=38.97（准确值）。引ST的垂线段UT=(-4443.23*sqrt(3)+731.14*sqrt(111))。

8.作WZ为半径的圆W，交线段WB2于B3，圆心角Z’WZ=角ZWB3/3。Z’在WZ投影为B4。

9.作圆心角VSW=角TSU/3，并把W投影到X于直线RS上，W、X十分接近，小心分离出X点。

10.作半径为9*sqrt(74-10*sqrt(37))的圆X并于直线WX于Y点。以及圆心角YXY’=角BAE。

11.把Y’投影到点Z于直线WX上。

图（3）

12.回到图（1），以IQ为半径作圆G，并于OA0交于b点，作圆心角bGc=角SRZ。三等分之，得到圆心角bGd。自d点引OA0的垂线，同圆O交点A1、A36。那么，A0A1=A0A36，都是圆O内接正37边形的边长。

原理：设w1=(-1+sqrt(-3))/2，w2=(-1-sqrt(-3))/2，那么通过解两回一元三次方程得到

化简需要庞大计算量。一个比较简便的结果是：

-1+sqrt(37)+2*sqrt(74+10*sqrt(37))*cos(arctan(A)/3+pi/3)+2*sqrt(222-18*sqrt(37)+24*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3))*cos(arctan(C/D)/3)，其中：

A=(11*sqrt(3)+2*sqrt(111))/9，B=(552*sqrt(3)-45*sqrt(111))/211，C=9*sqrt(74-10*sqrt(37))*cos(arctan(E)/3)，D=74-8*sqrt(37)+sqrt(21386-3050*sqrt(37))*cos(arctan(F)/3)，E=A，F=(-444323*sqrt(3)+73114*sqrt(111))/3897。

要三等分四个角，一是(11*sqrt(3)+2*sqrt(111))/9反正切值，二是(552*sqrt(3)-45*sqrt(111))/211反正切值，三是(-444323*sqrt(3)+73114*sqrt(111))/3897反正切值，最后一个与前面的A和F有关。

第一部分：-1+sqrt(37)+2*sqrt(74+10*sqrt(37))*cos(arctan(A)/3+pi/3)，A=(11*sqrt(3)+2*sqrt(111))/9，在第1~3步得到体现，最终作出线段OG长度正是其1/2。

第二部分：模长参数sqrt(222-18*sqrt(37)+24*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3))用射影定理及三等分角作出。其中arctan(B)等于角KJM。HI=6，IP=37-3*sqrt(37)+4*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3，QI是这两线段的几何平均，正好是该模长参数。辐角参数arctan(C/D)，借用了角BAE做了线段XZ长为C。又新作了角arctan((-444323*sqrt(3)+73114*sqrt(111))/3897)去构造长度为D的线段RX。二线段垂直，还能三等分角XRZ移植到圆G的圆心角上。最终作出了线段sqrt(74+10*sqrt(37))*cos(arctan(A)/3+pi/3)+2*sqrt(222-18*sqrt(37)+24*sqrt(37-3*sqrt(37))*cos(arctan(B)/3))*cos(arctan(C/D)/3)。加上OG的1/2，正是cos(2*pi/37)的18倍！

38边形的作法

1.如下图。作圆O，半径OA0=18，反向延长OA0到A使得OA=1。

2.从OA0截取出OB=6，从B引OA0垂线l，l上取一点C使得BC=3*sqrt(3)。

3.三等分角BAC得角BAD，D落在以AC为半径的圆A上，投影到OA0是H点，圆心角DAE=60度跨过C点，C、D在OA0同侧。圆A直径是EF，F投影到OA0直线是G点。

4.作以2*sqrt(63+6*OH)为半径的圆G，从线段GA0中截取GI=(297+60*OH-9*OG)/(2*OH+21)。作OA0的垂线IJ交圆G于J。

5.作角KGI=角JGI/3，K落在圆G上。从K引OA0垂线交圆O于A2。

6.平分角A0OA2同劣弧A0A2交于A1。此时A0A1是圆O内接正38边形边长。

原理：

cos(2*pi/19)=(-2+w2*(532+228*sqrt(3)*j)^(1/3)+w1*(532-228*sqrt(3)*j)^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))+162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))-162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3))/36，而pi/19可以通过平分2*pi/19得到。

39边形的作法

1~3 同26边形作法前3步。

4.作AB中垂线，同下半圆A交于L，则KL的弧度数是5/39个圆周。作图图片略。

原理：pi/3-pi/13=5*(2*pi/39)。

以上正多边形借助现有工具还有其他画法，欢迎大家留言讨论！